- matice MxM, na ni náhodně na začátku simulace rozmístěno x lidí (dále fermionů - viz článek)
- logicky platí, že x < MxM, nicméně začal bych s nějakým rozumným počtem x < (MxM)/1,5 třeba
- rychlost pohybu fermionů za jednu časovou jednotku je konstantní -> 1
Na pohyb fermionů má vliv několik skutečností:
-
STATICKÁ (tedy po celou dobu programu neměnná) 3x3 MATICE PREFERENCÍ směru pohybu fermionů do sousedních buněk
- ze současného bodu se můžu pohybovat osmi různými směry (plus devátý směr je setrvání na místě) - ilustrace článek str 511 nahoře
- hodnoty polí matice (M(i,j)) lze stanovit různými způsoby (inspirace např Appendix A článku), to chce ještě poladit (@Adam), ale pro začátek si tam můžeme hodit vcelku cokoli. Musí samozřejmě platit, že suma pravděpodobnosti těchto 9 možných pohybů je 1.
- pokud chceme docílit maximálního proudění lidí (nejrychlejšího dosažení východu), tak by byla matice preferencí nulová ve všech bodech kromě jednoho (uvádí v článku, že i takto je to validní). Tím se zamezí vzájemnému vlivu dráh (každý si drží svoji lajnu....) a tedy zpomalení
- Př) Pokud může fermion jít jen jedním směrem (např modelujeme frontu někam...), bude M(0,1) = 1 a všechny zbylé M(i,j)=0
- ZÁVĚR: Fermion se z pozice v čase t může vydat do pozice v čase t + 1 9 různými směry. Kam se nakonec vydá, je dáno pravděpodobnostmi obsaženými v matici preference a hodnotami pozemního a dynamického pole (viz dále).
-
POZEMNÍ POLE, jehož účelem je modelovat vlivy interakcí mezi fermiony na delší vzdálenosti. Jeho hodnota v buňkách je modifikována fermiony a fermiony jsou hodnotami pozemního pole v daných buňkách ovlivňovány (konkrétně pravděpodobnosti přechodu do různých směrů)
- pozemní pole modifikuje pravděp. přechodu tak, že pohyb ve směru větších volných ploch je preferován
- lze si představit jako druhou vrstvu buněk (o stejném MxM rozměru)
- máme pozemní pole:
-
STATICKÉ (statická složka pozemního pole) - které je v čase zcela neměnné (tedy neovlivňováno fermiony). "Hodnota intenzity" statického pole je určena počtem tzv. s-bosonů: s-boson pro bod [x,y] je označen jako Ts(x,y). Počty s-bosonů pro všechny body [X,Y] jsou stanoveny fixně na začátku simulace. Př) Máme prostor MxM, modelujeme místnost s únikovým východem v případě požáru. Obecně lze říct, že být blíže u východu je fermiony preferovanější, tudíž počty s-bosonů jsou nejvyšší v bodech hned u něj a klesají s rostoucí vzdáleností od východu.
-
DYNAMICKÉ (dynamická složka pozemního pole) - které je naopak přítomností fermionů modifikováno a má svoji vlastní dynamiku. V tomto případě je "intenzita" dynamické složky modelována počty tzv. d-bosonů Td(x,y), kterých je na začátku simulace právě nula ve všech bodech. Jakmile fermion vykoná pohyb z [x,y] do jiné buňky, počet d-bosonů v buňce [x,y] vzroste o 1 ("stopa"...) Př) Každý fermion zanechává po sobě "stopu", tzn. dynamická složka pozemního pole (tedy počet d-bosonů) je vyšší u obsazených buněk. Vzhledem k tomu, že celková pravděpodobnost zvolení směru pohybu závisí i na hodnotě dynamické složky pozemního pole, pro ostatní fermiony je žádoucí následovat ostatní fermiony.
- dynamická složka pozemního pole se časem snižuje (stopy od ostatních fermionů postupem času mizí)
- => jakmile jsou vykonány všechny přechody z t do t+1, nejstarší d-boson (Td) je z každé buňky odstraněn s pravděpodobností alfa (== vstupní parametr simulace), pokud existuje déle než jeden časový úsek (tj. pokud vznikl během předešlého nebo staršího přechodu)
- dynamická složka pozemního pole se časem snižuje (stopy od ostatních fermionů postupem času mizí)
-
Tudíž v obecné rovině je pravděpodobnost přechodu p-ij (čti pé s indexem i,j) ve směru (i,j) dána jako:
p-ij = N x M-ij x D-ij x S-ij x ( 1 - n-ij ), kde:
- n-ij nabývá hodnoty 1 nebo 0 (buňka je obsazená fermionem nebo je prázdná)
- N je normalizační faktor, který zajištuje, aby suma(p-ij) pro všechny varianty dvojic i,j byla 1
- M-ij - hodnota matice preferencí (viz výše)
- D-ij - hodnota dynamické složky pozemního pole
- S-ij - hodnota statické složky pozemního pole
- Obecně platí, že cílová buňka pro čas t+1 je určena pro všechny fermiony v čase t paralelně ve stejný okamžik na základě jejich matice preferencí a hodnot statické a dynamické složky pozemního pole cílové buňky (viz vzorec o pár řádků výše)
- v čase t každý fermion ověřuje, které sousední buňky jsou prázdné (hodnota n-ij == 0). Pravděpodobnost přechodu do obsazené buňky jsou nastaveny na nulu.
- pokud m fermionů určí jako svůj cíl stejnou buňku, jenom jeden z nich smí pohyb vykonat. Tento je určen náhodným výběrem, kde každému takovému fermionu je přiřazena hodnota pravděpodobnosti výběru 1/m. Lze použít i jinou sofistikovanější metodu (viz dodatek dole), ale v článku píšou, že jim vyšlo, že nemá žádný zásadní přínos, tudíž zůstáváme u této....
- Hodnota dynamické složky pozemního pole se mění na základě pravidel postupného "mizení stop" - viz popis dynamické složky pozemního pole výše
- Fermiony mění hodnotu dynamické složky pozemního pole v buňce, ve které se nacházeli v čase t+1 před přechodem
-
- Hodnota dynamického pole (počet d-bosonů) je aktualizována. Tedy z každé buňky je odstraněn nejstarší boson (který se tam nachází > 1 periodu) s pravděpodobností alfa
-
- Pro každý fermion je určena pravděpodobnost přechodu do všech volných okolních buněk (i,j) na základě matice preferencí a hodnot statického a dynamického pole
-
- Každý fermion si vybere cíl svého pohybu na základě pravděpodobností přechodu do dané buňky p-i,j vypočtených v bodě 2.
-
- Jsou vyřešeny konflikty. Tedy pokud m fermionů cíluje stejnou buňku, je z nich vybrán jeden s pravděpodobností 1/m. Ostatní se nehýbou.
-
- Fermiony, kterým je dovoleno se pohnout, tak učiní.
-
- Fermiony mění hodnotu dynamického pole v buňce, kterou obsazovali před pohybem jinam.
Pravděpodobnost přechodu z aktuálního bodu (0,0) (středová buňka) do neobsazeného souseda je tedy:
Obecně: p-ij = N x M-ij x D-ij x S-ij x (1 - n-i,j) x d-ij
Detailně: p-ij = N x M-ij x exp(beta x J-s x delta-s(i,j)) x exp(beta x J-d x delta-d(i,j)) x (1 - n-ij) x d-ij (viz str 514 nahoře) kde:
-
N == normalizační faktor, viz vzorec výše
-
M-ij: pravděpodobnost pohybu ve směru (i,j) podle statické 3x3 matice preferencí
-
J-s je "míra vlivu" s-bosonů (statické složky pozemního pole) na pohyb fermionů (=> další vstupní argument simulace)
-
J-d: totéž pro d-bosony (dynamickou složku)
-
delta-s(i,j) je rozdíl v počtu s-bosonů v cílovém bodě a výchozím bodě přechodu (Ts(i,j) - Ts(0,0))
-
delta-d(i,j) totéž pro d-boson
-
beta hraje roli eliminující konstanty (viz bod níže...)
-
d-ij: korekční faktor, který bere v potaz směr, ze kterého fermion přichází (jinými slovy, aby proto, že někde byl, tam nechtěl o to víc jít zpět....)
- pokud byl fermion v čase t-1 v bodě i, d-boson ležící na vrcholu dynamického pole v bodě i byl zanechán právě tímto fermionem -> nastavíme-li tedy: d-i,j = exp( -beta x J-d), nebude tento d-boson brán v potaz při výpočtu pravděpodobností přechodů
- pokud se v přechodu z t-1 -> t fermion posunul v určitém směru, je potřeba tento pohyb reflektovat i v přechodu t->t+1, tedy "zesílit pravděpodobnost", že bude vybrán tento směr i v tomto přechodu, tedy: d-i,j = exp(beta x J-o). Parametr J-o bude tedy dalším vstupním argumentem simulace, kterým nastavíme jakousi "setrvačnost" fermionů.
- ve všech ostatních případech platí, že d-i,j = 1
-
Dodatek (vcelku irelevantní. Přečíst primárně řešení konfliktů v buňkách, třetí odrážka v pravidlech pohybu fermionů):
- Je-li pro nějaký fermion vypočtena cílová buňka taková, která je aktuálně (v čase t) obsazená, fermion se nehne (viz o jeden bod výše) která aktuálně není obsazená a necíluje-li ji pro čas t+1 jiný fermion, pohyb se vykoná. která aktuálně není obsazená a cíluje ji pro čas t+1 jeden nebo více fermionů, tento pohyb vykoná jen buňka s nejvyšší relativní pravděp. pohybu tímto směrem (viz vzorec a ilustrace v článku str 511 nahoře). Zbylé fermiony opět zůstávají na svých pozicích.
-
Simulace únikového východu z článku:
- dovolili fermionům pohybovat se jen 5 směry (tedy ne diagonálně), to bychom si možná taky mohli zjednodušit
- matice (místnost) nemusí být nutně čtvercová, nicméně oni též zvolili čtvercovou (stejně jako my), takže cajk
- studovali vliv délky života d-bosonů, konkrétně parametru alfa (s jakou pravděp. se v rámci dané iterace odstraní nejstarší d-boson z buňky....) na celkovou evakuační dobu - tedy za jak dlouho všichni opustí místnost, přičemž "východ" je definován jako tři souvislé body (tedy místnost mohou opustit tři lidi zároveň v rámci jedné iterace, což tak nějak odpovídá i realitě...)
- -> jinými slovy "konec života fermionu" bych namodeloval tak, že dostane-li se jakýkoli fermion na jeden z těchto tří bodů, v rámci další iterace už se vůbec neřeší jeho preference a všechno ostatní a prostě přestane existovat, opouští systém (a samozřejmě uvolní místo u dveří...)
- výchozí parametry simulace: J-s = 2; J-d = 10; beta = 10 (takto bych v rámci testování model spouštěl...)
- ZÁVĚRY (aneb k čemu bychom měli s danými parametry asi ideálně rámcově taky nějak dospět):
- při vyšší J-s, např. J-s = 2, tedy silnější vazbé fermionů na s-bosony, roste doba potřebná k evakuaci s nárůstem životnosti d-bosonů (== jinými slovy při nízkém alfa, tedy pravděpodobnosti jejich zániku...)
- pokud je J-s menší, např. J-s = 0,5, nejlepší evakuační časy jsou při "střední až malé životnosti" d-bosonů, tedy pro alfa okolo 0,55-0,70
- co z toho všeho lze vyvodit
- při intenzivnější vzájemné vazbě mezi fermiony (...menší alfa -> delší životnost průměrného d-bosonu) může vést k zásadním změnám chování fermionů.
- Tyto změny jsou ještě zásadnější, když fermiony nemají příliš velké ponětí o tom, jaká je nejlepší cesta k nejbližšímu východu (....menší J-s -> menší vazba fermionů na hodnoty statického pole -> menší ovlivňování jejich následujícího kroku od statického pole...).
- Pokud se J-s blíží k nule (tedy pokud fermiony nemají téměř potuchy, kde východ je), tak snížení hodnoty alfa (zvýšení délky života průměrného d-bosonu) z již nízkých hodnot (např z 0,2 na 0,1) vede k drastickému nárůstu evakuační doby (v jejich případě konkrétně z 800 na 2000 časových jednotek) - viz grafy str. 518
-
-> simulujeme únikový východ, který odpovídá třem vedle sobě ležícím bodům
-
-> pro začátek nastavíme parametry následovně:
- J-s = 2
- J-d = 10
- beta = 10
- alfa = 0,5
-
-> a budeme si následně hrát se vším ohledně bety, přičemž to, co nás zajímá, je doba potřebná k evakuaci.